Himpunan dan Bilangan

Himpunan dan Bilangan

APRIL 10, 2014

6.1 Pengertian, Penulisan, dan Macam Himpunan

APRIL 10, 2014

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.

Contoh himpunan:

- Kumpulan kata dalam kamus

- Kumpulan buku dalam perpustakaan

Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:

1. Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.

2. Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.

Contoh:

Umum: - himpunan mahasiswa ikip pgri bali yang namanya mulai dari huruf A.

-himpunan binatang berkaki 2

` -ilmu geometri berhubungan dengan matematika yang berhubungan dengan titik.

Khusus: - himpunan bilangan positif

-himpunan bilangan real yang x≤5004

-himpunan asli yang 2 <x<60

ü Lambang himpunan biasa ditulis sebagai berikut: “A” = { }

ɛ = elemen / unsur

B. MENYATAKAN ATAU MENULIS SUATU HIMPUNAN

1. Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh : - himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,

ditulis B= {0,1,2,3,...}

-himpunan binatang berkaki 4, ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}

2. Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh: - himpunan bilangan real yang 2,005<x≤10,11

Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

-himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}

C. JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN

Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.

Contoh :

1. A= {a,i,u,é,o,e}

“N(A)”= 6

2. B= {-2,-1,0,1,2,3,4}

“N(A)”=7

D. MACAM-MACAM HIMPUNAN

1. Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong

i. { }

ii. Ф atau Ǿ

Contoh : - himpunan nama hari yang diawali huruf z

-himpunan bilangan bulat 4<x<5

Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}

2. Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan, B juga himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.

Simbol : “C”

Contoh :

1. A={1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi ACB

2. D={0,1,2,3,4}

E={0,1,2,3,4}

Jadi DCE merupakan himpunan bagian biasa.

3. Himpunan Bagian Sejati

Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.

Contoh :

1. A= {1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi ACB adalah himpunan bagian sejati

4. Himpunan berhingga

Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.

Contoh :

1. A=himpunan bilangan bulat positif < 2000

Jadi A={0,1,2,3,4,...,1999}

5. Himpunan Tak Berhingga

Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.

Contoh:

1. Himpunan bilangan asli

Jadi A= {1,2,3,...}

2. Himpunan bilangan bulat

Jadi B={...,-2,-1,0,1,2,3,...}

6. Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

Contoh :

1. A= himpunan garis yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

B= Himpunan suatu kurva yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

Jadi himpunan semesta adalah kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar

7. Himpunan Complument ( Ac)

Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.

8. Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

Contoh ;

1. A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

B= {5,7,9,11,13,15,17}

Jadi A bersandi B= {5,7,9}

9. Himpunan Lepas

Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.

Contoh:

1. A = {x/x bilangan ganjil}

B = {x/x bilangan genap}

Jadi A himpunan lepas B

10. Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

Contoh :

1. A={a,i,u,e,o}

B={u,e,o,a,i}

Jadi A=B

2. C={0,1,2,3,4,5,6}

D= {Himpunan Bilangan bulat positif yang kurang dariu dan sama dengan 6}

Jadi C=D

11. Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Contoh ;

1. A={a,b,c,d,e,f,g}

B={0,1,2,3,4,5,6}

N(A)= 7

N(B)=7

N(A)=N(B)

Jadi A sederajat dengan B

Sumber:

http://ani-kurnia.blogspot.com/2011/07/belajar-himpunan.html

6.2 Diagram Venn

Untuk memahami pengertian himpunan semesta perhatikan contoh berikut ini:

S = {murid-murid di sekolahmu},

A = {murid-murid di kelasmu}.

Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A, sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan A.

Ini adalah diagram venn. Diagram venn adalah cara lain untuk menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau diagram. Diagram venn ini pertama kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).

Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:

1. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri diberi simbol S.

2. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.(lihat gambar di atas)

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

3. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tutup sederhana.

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A dan B di dalam himpunan S.

Yang dimaksud Irisan Himpunan adalah anggota persekutuan antara A dan B (lihat gambar di atas).

Irisan himpunan dari persekutuan A dan B adalah 2, 4, 6, 8

Sumber:

http://esuprianto.blogspot.com/2011/11/himpunan_07.html

6.3 OPERASI ANTAR HIMPUNAN DAN DIAGRAM VENN

APRIL 10, 2014

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

A. Anggota Himpunan

a. Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang merupakan anggota himpunan dilambangkan " ∈" dan jika bukan anggota dilambangkan " ".

b.Himpunan terhingga dan tak terhingga Himpunan terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya.

B. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi himpunan kosong adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu “nol”.

C. Himpunan bagian

A himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota himpunan B dan ditulis "A( B". Jika banyaknya anggota suatu himpunan A adalah n(A), maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A)

D. Himpunan semesta

adalah himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. notasi "S".

E. Diagram Venn

digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan.

F.Menyatakan suatu Himpunan

Dengan kata-kata

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

2. Dengan notasi pembentuk himpunan

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x €bilangan prima}.

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

G. Operasi Antar Himpunan dan Diagram Venn-nya

1. Irisan himpunan

A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

2. Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

3. Komplemen himpunan

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∈ A}

H. Operasi Pada Himpunan

Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A Ì S , komplemen dari A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan anggota A .

A’ = { x | x ÏA }

Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya.

A È B = { x | x ÎA atau x ÎB }

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B.

A Ç B = { x | x ÎA dan x ÎB }

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.

A - B = { x | x ÎA dan x ÏB }.

Jelas bahwa

B - A = { x | x ÎB dan x ÏA }.

Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A D B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B.

A D B = ( A È B ) – ( A Ç B )

atau

A D B = ( A – B ) È ( B - A ).

Sumber:

http://id.shvoong.com/exact-sciences/mathematics/2172644-materi-matematika-himpunan/#ixzz2TFUeCUms

http://stephanips.blogspot.com/2013/05/matematika-operasi-antar-himpunan-dan.html

6.4 Himpunan Bilangan dan Skemanya

APRIL 10, 2014

1. Himpunan Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu.

Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.

A = {1, 2, 3, 4, …}.

2. Himpunan Bilangan Cacah

Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah.

Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:

C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.

3. Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:

B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

4. Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:

5. Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q anggota B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: 2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.

6.5 HIMPUNAN BILANGAN BULAT dan RILL

APRIL 10, 2014

HIMPUNAN BILANGAN BULAT dan RILL juga SKEMANYA

  Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1. Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh: A = {a,e,i,o,u} - B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:- A = Himpunan vokal dalam abjad latin - B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:- P = {0,2,4,8,10,…,48} - Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti inibukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh: - P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}) - Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} - R = { s | s² -1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})

  Definisi himpunan bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

Z

symbol yang digunakan untuk melambangkan himpunan bilangan bulat.Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen(bahasa Jerman untuk "bilangan").

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

	Penambahan	Perkalian
closure:	a + b   adalah bilangan bulat	a × b   adalah bilangan bulat
Asosiativitas:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutativitas:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Eksistensi unsur identitas:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
Eksistensi unsur invers:	a + (−a)  =  0
Distribusivitas:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol:		jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Contoh :

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

  Definisi himpunan bilangan rill

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas, karena terdapat korespondensi atu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah

R

simbol yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan bilangan rill. Dalam matematika, bilangan riil atau  bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Contoh : log 10, 5/8, -3, 0, 3

Sumber:

http://nahfa-elshabrina.blogspot.com/2013/05/himpunan-bilangan-bulat-dan-rill-juga_20.html